Probability and Statistics

• P(X=1): 丢一个正面朝上概率为p的硬币，结果head的概率是多少。
• P(X=0): 丢一个正面朝上概率为p的硬币，结果tail的概率是多少。
• sample output: 0 or 1

• P(X=k): 丢n个正面朝上概率为p的硬币，结果有k个正面朝上的概率是多少。
• sample output: N

• P(X=(x1, x2, x3, …)): 丢n个k面的骰子（每个面的分布是p1, …, pk），结果有x1个1st面， x2个2nd面，。。。，xk个kth面的概率。
• output: (x1, x2, …, xk), xi is N

• P(X=k): 一直丢一个硬币，第一次出现1是第k次的概率。
• sample output: N

• P(X=k): λ=rt, 在时间t内，事件发生有且仅有k次的概率，r是事件发生平均速率
• Pois(λ) = lim_n->infBinomial(n, p), where p*n = λ. n > 100, np < 10.
  • think of it at toss a coin per 1 second. The event is the head of the coin. p is r; n is t.
• Sample output: 0, 1, 2, 3

• f(X=x): pdf of poisson process event interval is x.
• Sample output: [0, inf)

在H0 hypothesis下，如果能推导出某个统计量服从T(df1)的分布，那么你可以知道这个T分布的形状，并且通过查表，可以算出你对这个统计量的这次测量（一个样本）在这个T分布的什么位置，以及比你这个测量值更极端的情况的总体概率（单边或双边面积），这个面积叫做p-value。如果你的这个测量值查表对应的p-value小于你预先设置的alpha，那么你可以拒绝原假设H0。整个过程叫做t-test（拒绝是我们希望看到的，因为这次测量不能拒绝并不代表原假设就成立，而一次测量的反例作用就可以说明原假设不成立。）

f-test于上面的几乎一样，只不过F(df1, df2)分布有两个参数。

那么，就有很多情况下，别人已经推导出某个统计量服从T/F分布了，比如：

1. 一个whole population的mean=他的一个subset/sample的平均值 => sample的均值和whole poulation的mean的差成T分布
2. 两个whole population的mean相等，当已知他们各自的一个subset/sample的平均值时 => 两个sample均值的差成T分布
3. GLM中(y=beta0+beta1*x1+beta2*x2+…+betak*xk+epsilon)，多加一项因素xi的作用是否可以忽略不计，即betai=0。这个案例可以用来算tfMRI activation map（因素xi就是那个task的pattern）。=> T-test
4. GLM中，多个（大于1）个因素的影响是否可以忽略，即betai=betaj=…=0. => F-test